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Die Doppelfakultät[1] ist ein Spezialfall der Multifakultät und definiert als das Produkt der positiven geraden Zahlen bis zu einer geraden Zahl bzw. das Produkt der positiven ungeraden Zahlen bis zu einer ungeraden Zahl.

$ n!! = \begin{cases} 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot n & n\;\bmod\;2 = 1 \\ 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n & n\;\bmod\;2 = 0 \\ 1 & n = -1, 0 \end{cases} $

Zum Beispiel ist 6!! = 2 · 4 · 6 = 48. Zu bedenken ist, dass n!! ungleich (n!)! ist.

Für n = 0, 1, 2, … sind die ersten Werte 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, … (Folge A006882 in OEIS). Die Anzahlen der Stellen von $ (10^n)!! $ für n = 0, 1, 2, … sind 1, 4, 80, 1 285, 17 831, 228 289, 2 782 857, 32 828 532, … (Folge A006882).

Die Doppelfakultät kann mit der Gamma-Funktion verallgemeinert werden:

$ \Gamma\left(n + \frac{1}{2}\right) = \frac{(2n - 1)!!}{2^n}\sqrt{\pi} $

Sie kann auch für negative ungerade Zahlen erweitert werden:

$ (-2n - 1)!! = \frac{(-1)^n}{(2n - 1)!!} $

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Weisstein, Eric W.: Double Factorial.
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