Hyperoperation

Zu den Hyperoperationen gehören die Addition, Multiplikation, Potenzierung sowie Operationen darüber hinaus. Ohne weitere Zusätze wird darunter die von Reuben Goodstein 1947^[1] eingeführte Verallgemeinerung verstanden. Tatsächlich wurde sie bereits 1926 von David Hilbert mit Verweis auf Wilhelm Ackermann (siehe Ackermannfunktion) erwähnt. Kommutative Hyperoperationen wurden von Albert Bennett schon 1914 betrachtet.

Multiplikation ist grob definiert iterierte (wiederholte) Addition:

a\cdot b=\underbrace{a+a+\ldots+a+a}_b

Potenzierung ist iterierte Multiplikation:

a^b=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a\cdot a}_b

Diese Reihe lässt sich analog mit der iterierten Potenzierung (Tetration) fortsetzen, der iterierten Tetration (Pentation), der iterierten Pentation (Hexation) und so weiter. Allgemein wird von der n-Ation gesprochen (Benennung nach Goodstein), wobei n durch eine (alt)griechische Zahl ausgedrückt wird. Die n-Ation heißt auch hypern. Der zweite Operand (Exponent oder, wie er von diesem Wiki auch genannt wird, n-Ator) ist die Anzahl der Vorkommnisse des ersten Operanden (Basis, n-And), die durch den Operator verknüpft sind, der iteriert wird. n heißt Stufe oder Rang. Für die Tetration (n = 4) gilt zum Beispiel:

^ba = \underbrace{a^{a^{a^{.^{.^.}}}}}_b

Zu beachten ist die Rechtsassoziativität: $a^{b^c}=a^{(b^c)}\ne(a^b)^c.$ Diese gilt auch für die restlichen Operatoren. Zur Verdeutlichung wird auch von höheren Hyperoperationen gesprochen (in Abgrenzung zu den niederen Hyperoperationen mit Linksassoziativität). Schreibweisen für Hyperoperationen sind:

G(n, a, b) (Goodstein 1947), im Besonderen ^ba (Tetration), _ba (Pentation), a_b (Hexation).
O_n(a, b) (Goodstein^[2]), im Besonderen M(a, b) (Multiplikation), E(a, b) (Potenzierung, englisch exponentiation), T(a, b) (Tetration), P(a, b) (Pentation), H(a, b) (Hexation), S(a, b) („Septation“, d. h. Heptation)
a⁽ⁿ⁾b (Munafo, eigentlich ein eingekreistes n), a_(n)b für niedere n-Ation
a ↑^n − 2 b (Aufwärtspfeilschreibweise)
{a, b, n − 2} (BEAF)
a → b → (n − 2) (verkettete Pfeilschreibweise)

Von Konstantin Rubzow stammt eine Definition des hyper0-Operators:

a^⓪b =

\begin{cases} a & b = -\infty \\ b & a = -\infty \\ a + 2 = b + 2 & a = b \\ a + 1 & a > b \\ b + 1 & b > a\end{cases}

Zeichenkodierung[]

Unicode^[3]^[4] stellt folgende eingekreiste Zeichen zur Verfügung:

Code	Zeichen	Name
Umschlossene alphanumerische Zeichen (2460–24FF)
Eingekreiste Zahlen (2460–2473)
U+2460	①	Eingekreiste Ziffer Eins
U+2461	②	Eingekreiste Ziffer Zwei
U+2462	③	Eingekreiste Ziffer Drei
U+2463	④	Eingekreiste Ziffer Vier
U+2464	⑤	Eingekreiste Ziffer Fünf
U+2465	⑥	Eingekreiste Ziffer Sechs
U+2466	⑦	Eingekreiste Ziffer Sieben
U+2467	⑧	Eingekreiste Ziffer Acht
U+2468	⑨	Eingekreiste Ziffer Neun
U+2469	⑩	Eingekreiste Zahl Zehn
U+246A	⑪	Eingekreiste Zahl Elf
U+246B	⑫	Eingekreiste Zahl Zwölf
U+246C	⑬	Eingekreiste Zahl Dreizehn
U+246D	⑭	Eingekreiste Zahl Vierzehn
U+246E	⑮	Eingekreiste Zahl Fünfzehn
U+246F	⑯	Eingekreiste Zahl Sechzehn
U+2470	⑰	Eingekreiste Zahl Siebzehn
U+2471	⑱	Eingekreiste Zahl Achtzehn
U+2472	⑲	Eingekreiste Zahl Neunzehn
U+2473	⑳	Eingekreiste Zahl Zwanzig
Eingekreiste lateinische Buchstaben (24B6–24E9)
U+24B6	Ⓐ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe A
U+24B7	Ⓑ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe B
U+24B8	Ⓒ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe C
U+24B9	Ⓓ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe D
U+24BA	Ⓔ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe E
U+24BB	Ⓕ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe F
U+24BC	Ⓖ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe G
U+24BD	Ⓗ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe H
U+24BE	Ⓘ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe I
U+24BF	Ⓙ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe J
U+24C0	Ⓚ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe K
U+24C1	Ⓛ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe L
U+24C2	Ⓜ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe M
U+24C3	Ⓝ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe N
U+24C4	Ⓞ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe O
U+24C5	Ⓟ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe P
U+24C6	Ⓠ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe Q
U+24C7	Ⓡ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe R
U+24C8	Ⓢ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe S
U+24C9	Ⓣ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe T
U+24CA	Ⓤ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe U
U+24CB	Ⓥ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe V
U+24CC	Ⓦ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe W
U+24CD	Ⓧ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe X
U+24CE	Ⓨ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe Y
U+24CF	Ⓩ	Eingekreister lateinischer Großbuchstabe Z
U+24D0	ⓐ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe a
U+24D1	ⓑ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe b
U+24D2	ⓒ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe c
U+24D3	ⓓ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe d
U+24D4	ⓔ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe e
U+24D5	ⓕ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe f
U+24D6	ⓖ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe g
U+24D7	ⓗ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe h
U+24D8	ⓘ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe i
U+24D9	ⓙ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe j
U+24DA	ⓚ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe k
U+24DB	ⓛ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe l
U+24DC	ⓜ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe m
U+24DD	ⓝ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe n
U+24DE	ⓞ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe o
U+24DF	ⓟ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe p
U+24E0	ⓠ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe q
U+24E1	ⓡ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe r
U+24E2	ⓢ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe s
U+24E3	ⓣ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe t
U+24E4	ⓤ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe u
U+24E5	ⓥ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe v
U+24E6	ⓦ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe w
U+24E7	ⓧ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe x
U+24E8	ⓨ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe y
U+24E9	ⓩ	Eingekreister lateinischer Kleinbuchstabe z
Zusätzliche eingekreiste Zahl (24EA)
U+24EA	⓪	Eingekreiste Ziffer Null
Umschlossene CJK-Zeichen und -Monate (3200–32FF)
Eingekreiste Zahlen (3251–325F)
U+3251	㉑	Eingekreiste Zahl Einundzwanzig
U+3252	㉒	Eingekreiste Zahl Zweiundzwanzig
U+3253	㉓	Eingekreiste Zahl Dreiundzwanzig
U+3254	㉔	Eingekreiste Zahl Vierundzwanzig
U+3255	㉕	Eingekreiste Zahl Fünfundzwanzig
U+3256	㉖	Eingekreiste Zahl Sechsundzwanzig
U+3257	㉗	Eingekreiste Zahl Siebenundzwanzig
U+3258	㉘	Eingekreiste Zahl Achtundzwanzig
U+3259	㉙	Eingekreiste Zahl Neunundzwanzig
U+325A	㉚	Eingekreiste Zahl Dreißig
U+325B	㉛	Eingekreiste Zahl Einunddreißig
U+325C	㉜	Eingekreiste Zahl Zweiunddreißig
U+325D	㉝	Eingekreiste Zahl Dreiunddreißig
U+325E	㉞	Eingekreiste Zahl Vierunddreißig
U+325F	㉟	Eingekreiste Zahl Fünfunddreißig
Eingekreiste Zahlen (32B1–32BF)
U+32B1	㊱	Eingekreiste Zahl Sechsunddreißig
U+32B2	㊲	Eingekreiste Zahl Siebenunddreißig
U+32B3	㊳	Eingekreiste Zahl Achtunddreißig
U+32B4	㊴	Eingekreiste Zahl Neununddreißig
U+32B5	㊵	Eingekreiste Zahl Vierzig
U+32B6	㊶	Eingekreiste Zahl Einundvierzig
U+32B7	㊷	Eingekreiste Zahl Zweiundvierzig
U+32B8	㊸	Eingekreiste Zahl Dreiundvierzig
U+32B9	㊹	Eingekreiste Zahl Vierundvierzig
U+32BA	㊺	Eingekreiste Zahl Fünfundvierzig
U+32BB	㊻	Eingekreiste Zahl Sechsundvierzig
U+32BC	㊼	Eingekreiste Zahl Siebenundvierzig
U+32BD	㊽	Eingekreiste Zahl Achtundvierzig
U+32BE	㊾	Eingekreiste Zahl Neunundvierzig
U+32BF	㊿	Eingekreiste Zahl Fünfzig
Zusätzliche umschlossene alphanumerische Zeichen (1F100–1F1FF)
Eingekreiste kursive lateinische Buchstaben (1F100–1F1FF)
U+1F12B	🄫	Eingekreister kursiver lateinischer Großbuchstabe C
U+1F12C	🄬	Eingekreister kursiver lateinischer Großbuchstabe R

Die Schriftart Quivira^[5] bietet im Block „teilweise umschlossene alphanumerische Zeichen“ (F220–F27F) Zeichen, die nur zur Hälfte umschlossen und mithilfe von Mittelstücken nach Belieben erweiterbar sind.

Code	Zeichen	Name
Linke Halbkreise (F220–F243)
U+F220		Links halb eingekreiste Ziffer Null
U+F221		Links halb eingekreiste Ziffer Eins
U+F222		Links halb eingekreiste Ziffer Zwei
U+F223		Links halb eingekreiste Ziffer Drei
U+F224		Links halb eingekreiste Ziffer Vier
U+F225		Links halb eingekreiste Ziffer Fünf
U+F226		Links halb eingekreiste Ziffer Sechs
U+F227		Links halb eingekreiste Ziffer Sieben
U+F228		Links halb eingekreiste Ziffer Acht
U+F229		Links halb eingekreiste Zahl Neun
U+F22A		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe A
U+F22B		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe B
U+F22C		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe C
U+F22D		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe D
U+F22E		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe E
U+F22F		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe F
U+F230		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe G
U+F231		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe H
U+F232		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe I
U+F233		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe J
U+F234		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe K
U+F235		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe L
U+F236		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe M
U+F237		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe N
U+F238		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe O
U+F239		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe P
U+F23A		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe Q
U+F23B		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe R
U+F23C		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe S
U+F23D		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe T
U+F23E		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe U
U+F23F		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe V
U+F240		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe W
U+F241		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe X
U+F242		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe Y
U+F243		Links halb eingekreister lateinischer Großbuchstabe Z

(wird fortgesetzt)

Einzelnachweise[]

↑ Reuben L. Goodstein: Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory. In: The Journal of Symbolic Logic. Band 12, Nr. 4, Dezember 1947, S. 123–129, doi:10.2307/2266486 (online).
↑ Reuben L. Goodstein: Fundamental Concepts of Mathematics. 2. Auflage. Oxford, New York, Toronto, Sydney, Paris, Frankfurt: Pergamon Press, 1979, ISBN 0-08-021666-8, S. 41–42 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ [1]
↑ [2]
↑ [3]

[1] Reuben L. Goodstein: Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory. In: The Journal of Symbolic Logic. Band 12, Nr. 4, Dezember 1947, S. 123–129, doi:10.2307/2266486 (online).

[2] Reuben L. Goodstein: Fundamental Concepts of Mathematics. 2. Auflage. Oxford, New York, Toronto, Sydney, Paris, Frankfurt: Pergamon Press, 1979, ISBN 0-08-021666-8, S. 41–42 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[3] [1]

[4] [2]

[5] [3]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]