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Die steigende Faktorielle[1] ist definiert als:

$ x^{\overline{n}} = \prod_{i = 0}^{n - 1} (x + i) = x \cdot (x + 1) \cdot (x + 2) \cdot \ldots \cdot (x + (n - 1)) $

Sie wird auch x(n), 〈xn oder (x)n geschrieben, wobei die erste Schreibweise in der Theorie der Funktionen und die letzte in der Kombinatorik für die fallende Faktorielle verwendet wird. Sie kann mit der Gamma-Funktion verallgemeinert werden:

$ x^{\overline{n}} = \frac{\Gamma(x + n)}{\Gamma(x)} $

Es gilt die Verwandtschaft mit der fallenden Faktoriellen durch:

$ x^{\overline{n}} = (-1)^n(-x)^{\underline{n}} $

Die ersten steigenden Faktoriellen sind:

  • x0 = 1
  • x1 = x
  • x2 = x(x + 1) = x2 + x
  • x3 = x(x + 1)(x + 2) = x3 + 3x2 + 2x
  • x4 = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Weisstein, Eric W.: Rising Factorial.
Hauptartikel: Fakultät
Multifakultäten: Doppelfakultät · Multifakultät
Fallend und steigend: fallende Faktorielle · steigende Faktorielle
Primzahlen: Primultät · Kompositultät
Andere: exponentielle Fakultät · Hyperfakultät · q-Fakultät · Roman-Fakultät · Subfakultät · Superfakultät · Ultrafakultät
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